​圆内接四边形的性质及四点共圆判定方法的应用（2）

圆内接四边形的性质及四点共圆判定方法的应用（2）

题目：如图1，在△ABC中，点A在BC上的射影为D，M是BC的中点，AE、AF是∠BAC的两条等角线，且BE⊥AE，CF⊥AF，垂足分别为E、F，连接ME、MF。求证：①M、D、E、F四点共圆；②ME=MF。

解题思路：连接ED、EF、DF（图2），易证A、B、E、D四点共圆，∠BAE=∠BDE=α。

同理，A、D、F、C四点共圆，∠FAC=∠FDC=α，故∠BDE=∠FDC=α。

设AC的中点为N，连接MN、NF（图3），根据三角形中位线性质及直角三角形斜边上中线性质得：MN=1/2AB，NF=1/2AC，∠FNC=∠FAC+∠NFA=2α，∠BAC=∠MNC。

易证Rt△AFC∽Rt△AEB，则有：AF/AE=AC/AB=（2NF）/（2MN）=NF/MN。

在△FAE和△FNM中：∠FAE=∠CAB-（∠BAE+∠CAF）=∠CAB-2α；

∠FNM=∠CNM-∠CNF=∠CAB-2α，即：∠FAE=∠FNM，结合AF/AE=NF/NM，则

△FAE∽△FNM，故∠AFE=∠NFM，即：∠AFM+∠MFE=∠NFA+∠AFM，

故∠MFE=∠NFA=α。

在四边形EDMF中（图4），∠BDE=∠MFE=α，故M、D、E、F四点共圆成立，∠MEF=∠MDF=α，即∠MEF=∠MFE=α，ME=MF得证。